Frattale: cos'è l'oggetto geometrico che più è complesso e più affascina

Un frattale è un oggetto geometrico che è formato da un motivo ricorrente che si ripete su scale diverse in maniera infinita, di modo tale che ingrandendo sempre di più l'immagine, e zoomando fino all'infinito vedremmo sempre lo stesso oggetto di partenza. Il termine è stato coniato dal matematico polacco Benoît Mandelbrot, riferendosi a degli insiemi matematici che hanno una ripetitività caotica.

Le caratteristiche di un frattale sono sostanzialmente suddivisibili in 4 aspetti principali:

1. Autosimilarità: l'oggetto è l'unione di un numero di copie di se stesso a scale di grandezza differenti;
2. Struttura fine: l'oggetto ad ogni ingrandimento appare sempre più dettagliato (anzichè perdere di risoluzione);
3. Irregolarità: l'oggetto non può essere descritto con un'equazione lineare, bensì con un algoritmo, che a sua volta può essere iterato un numero infinito di volte.
4. Impossibile da misurare: l'oggetto benchè viene rappresentato in uno spazio definito, ha una lunghezza tendente all'infinito derivante da un numero infinito di iterazioni.

Uno dei frattali più conosciuti è quello di Mandelbrot, definito anche insieme di Mandelbrot, che è l'insieme dei numeri complessi per i quali è limitata la successione definita da:

    con 

Da un punto di vista grafico, che ad una mente non matematica interesserà certamente di più, l'immagine che vi propongo, e che vi affascinerà, vi dimostrerà come effettivamente è facile vedere la ripetitività dell'elemento di base.

Questo è l'ingrandimento di un particolare dello stesso frattale di Mandelbrot, il che vi fa capire il concetto di ripetitività.

Un secondo tipo di frattale abbastanza conosciuto è l'insieme di Julia, ovvero quell'insieme ottenuto da tutti quei punti il cui comportamento dopo ripetute iterazioni della funzione è caotico, nel senso che può cambiare drasticamente in seguito ad una piccola perturbazione iniziale.

Il complementare dell'insieme di Julia nel piano complesso si chiama insieme di Fatou: è l'insieme dei punti il cui comportamento (sempre in seguito a ripetute iterazioni della funzione) è più stabile.

I video valgono molto di più di qualsiasi spiegazione, ed è per questo motivo che ve ne propongo due. Nel primo potrete apprezzare l'insieme di Mandelbrot, e nel secondo noterete come i frattali siano largamente presenti in natura. Buona visione.